Các tứ giác đặc biệt

1. Hình thang

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang ABCD (AB // CD):

Các trường hợp đặc biệt của hình thang:

Hình thang vuông: là hình thang có một góc vuông.

Hình thang cân: là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Suy ra: AD = BC và AC = BD.

Đường trung bình của hình thang

Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng một nửa tổng hai đáy.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B’ sao cho AB’ = AB và trên AB lấy điểm C’ sao cho AC’ = AC. Chứng minh tứ giác BB’CC’ là hình thang.

Hướng dẫn giải:

AB’ = AB nên ΔBAB’ cân tại đỉnh A, suy ra (1)

AC’ = AC nên ΔCAC cân tại đỉnh A, suy ra   (2)

   Từ (1) và (2) suy ra

   Hai đường thẳng BB’ và CC’ tạo với đường thẳng AB hai góc đồng vị bằng nhau nên BB’ // CC’.

   Vậy tứ giác BB’CC’ là hình thang.  

2. Hình bình hành

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạp cạnh song song.

                       

Tính chất: 

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành thì ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC và D là một điểm bất kì thuộc cạnh đáy BC. Gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BD, CD. Đường trung trực của BD cắt cạnh AB tại điểm G. Đường trung trực của CD cắt cạnh AC tại H. Chứng minh rằng tứ AGDH là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

     

Do FH là đường trung trực của DC nên HD = HC

Suy ra ΔDHC cân tại đỉnh H

Mà (Do ΔABC cân tại A) DH // AB.

Tương tự, ta có GD // AC.

Tứ giác AGDH có các cạnh đối song song.

Suy ra tứ giác AGDH là hình bình hành.

3. Hình thoi

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tính chất: 

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi thì ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng tứ giác IMNK là hình thoi. 

Hướng dẫn giải:

   

+) Do M là trung điểm BE, I là trung điểm DE.

MI là đường trung bình của ΔBDE suy ra MI // BD và MI = ½ BD.

+) Tương tự cho ΔBDC suy ra NK // BD và NK = ½ BD.

MI // NK và MI = NK suy ra Tứ giác IMNK là hình bình hành.(1)

+) Tương tự cho ΔDCE suy ra IN // EC và IN = ½ EC.

Mà EC = BD IN = IM (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác IMNK là hình thoi (do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

4. Hình chữ nhật

Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Tính chất:

Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật thì ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE = AB. Kẻ EK ⊥ BC (K ∈ BC), EN ⊥ AH (N ∈ AH). Chứng minh tứ giác NEKH là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Xét tứ giác NEKH có:

Suy ra tứ giác NEKH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

5. Hình vuông

Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Tính chất: 

Để chứng minh một tứ giác là hình vuông thì ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

Hướng dẫn giải:

Xét tứ giác AMDN có:

Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).

Lại có: AD là phân giác góc A của tam giác ABC 

Suy ra hình chữ nhật AMND là hình vuông (đpcm).