Các tâm của tam giác

Các tâm của tam giác thường gặp

• Trọng tâm của tam giác là giao của ba đường trung tuyến.
•  Trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao.

Ngoài ra

• Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.
• Ba đường trung trực của ba cạnh đồng quy tại một điểm.

(Hai tâm này cũng rất đặc biệt, lớp 9 chúng ta sẽ được học)

1. Trọng tâm

Tính chất: 

• Trọng tâm của tam giác là giao của ba đường trung tuyến.
• Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh của tam giác bằng  ⅔  độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có:

GA = ⅔ AM; GB = ⅔ BN; GC = ⅔ CP

và ngược lại nếu điểm G thuộc trung tuyến AM sao cho AG = ⅔ AM thì G là trọng tâm tam giác ABC.

Ví dụ 1: Cho G là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: GM = GN = GP.

Hướng dẫn giải:

Gọi trung điểm của MN, NP, MP lần lượt là D, E, F.

Khi đó ME, NF, PD đồng quy tại trọng tâm G.

Ta có ΔMNP đều, suy ra ME = NF = PD (1).

Vì I là trọng tâm của ΔMNP nên ta có:

 MG = ⅔ ME; NG = ⅔ NF; PG = ⅔ PD (2).

Từ (1) và (2) suy ra GM = GN = GP.

2. Trực tâm

Tính chất: 

• Trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao.

• Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó.

                   

• Đối với tam giác vuông: Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

                             

• Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó.

                       

Ví dụ 2: Cho hình vẽ sau. Hãy chứng minh BS vuông góc với AC.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ABC có:

AE ⊥ BC nên AE là đường cao của ∆ABC.

CD ⊥ AB nên CD là đường cao của ∆ABC.

Mà AE và CD cắt nhau tại S.

S là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra đường thẳng BS là đường cao của ∆ABC

hay DS ⊥ AC.