Chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh các bất đẳng thức trong câu hỏi mở rộng của bài toán rút gọn.

1. Một số tính chất của bất đẳng thức

2. Một số hằng bất đẳng thức

3. Các phương pháp thường dùng

3.1 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Để chứng minh , ta chứng minh ;

                        , ta chứng minh .

Ví dụ: Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải:

Xét hiệu:

Có :

Suy ra điều phải chứng minh.

3.2 Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.

Ví dụ: Chứng minh rằng:  

Hướng dẫn giải:

Ta có:

                                     

                                     

                                     

Do

 

Suy ra điều phải chứng minh.

3.3 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức Cauchy

Với 2 số a, b không ta có:  dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ: Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải: 

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm và , ta có:

Suy ra điều phải chứng minh.