Ôn tập định lý Vi-ét lớp 9
Định lý Vi-ét là chủ điểm kiến thức đại số đặc biệt quan trọng với học sinh lớp 9 ôn thi vào 10. Trong nội dung sau đây, TAK12 sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về định lý Vi-ét thuận và đảo, đồng thời hướng dẫn các em làm tốt các bài tập về Định lý Vi-ét lớp 9.
Nội dung bài viết:
- 1. Kiến thức cần nhớ về định lý Vi-ét lớp 9
- 2. Bài tập về định lý Vi-ét lớp 9
- 2.1. Dạng 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai
- 2.2. Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
- 2.3. Dạng 3: Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
- 2.4. Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và tích
- 2.5. Dạng 5: Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
- 2.6. Dạng 6: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
1. Kiến thức cần nhớ về định lý Vi-ét lớp 9
1.1. Định lý Vi-ét thuận
Ví dụ 1: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 - 15x + 1 = 0. Tính x1 + x2 và x1x2.
Hướng dẫn giải
Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:
- Nếu phương trình có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = c/a.
- Nếu phương trình có a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = -c/a.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình 3x2 - 7x + 4 = 0.
Hướng dẫn giải
[%Included.Lớp 9%]
1.2. Định lý Vi-ét đảo
Ví dụ 1: Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 182.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1 = 1 + √2; x2 = 1 - √2
Hướng dẫn giải
2. Bài tập về định lý Vi-ét lớp 9
2.1. Dạng 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp giải: Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Bước 1: Tính ∆ = b2 – 4ac.
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm do đó không tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình.
- Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, ta thực hiện bước 2.
- Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai:
- S = x1 + x2 = -b/a
- P = x1x2 = c/a
Bài toán 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của phương trình x2 – 6x + 7 = 0
Hướng dẫn giải
Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac = (-3)2 – 7 = 9 – 7 = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo định lý Vi-ét ta có: 
Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7
Bài toán 2: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của phương trình 5x2 – 3x + 1 = 0
Hướng dẫn giải
Ta có ∆ = b2 – 4ac = (-3).2 – 4.5.1 = 9 – 20 = -11 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Suy ra không tồn tại tổng và tích các nghiệm.
[%Included.Dangky%]
2.2. Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp giải: Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Nếu phương trình có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = c/a.
- Nếu phương trình có a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = -c/a.
- Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình thì:
- S = x1 + x2 = -b/a
- P = x1x2 = c/a
Bài toán 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau
a) 2x2 + 3x + 1 = 0
b) 3x2 – 2x - 1 = 0
Hướng dẫn giải
a. Phương trình 2x2 + 3x + 1 = 0
Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 – 3 + 1 = 0
Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = -1; x2 = -c/a = -1/2.
b. Phương trình 3x2 – 2x - 1 = 0
Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0
Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = 1; x2 = c/a = -1/3
Bài toán 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2 – 11x + 30 = 0
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình x2 – 11x + 30 = 0
Suy ra ∆ = 112 – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo định lý Vi-ét ta có: 
Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn (*) là 6 và 5
Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = 5, x2 = 6
👉 Gợi ý các phần mềm học tập và ôn thi hiệu quả cho học sinh lớp 9
2.3. Dạng 3: Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp giải: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Bài toán 1: Phân tích biểu thức 2x2 – 7x + 3 thành nhân tử
Hướng dẫn giải
Xét phương trình 2x2 – 7x + 3 = 0 có: Δ = b2 - 4ac = (-7)2 - 4.2.3 = 25 > 0
Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 3, x2 = 1/2
Vậy 2x2 – 7x + 3 = 2(x - 3)(x - 1/2) = (x - 3)(2x - 1)
Bài toán 2: Phân tích biểu thức 5x2 + 24x + 19 thành nhân tử
Hướng dẫn giải
Xét phương trình 5x2 + 24x + 19 = 0 có: Δ = b2 - 4ac = (24)2 - 4.5.19 = 196 > 0
Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2 = -19/5
Vậy 5x2 + 24x + 19 = 5(x + 1)(x + 19/5) = (x + 1)(5x + 19)
2.4. Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp giải bài toán tìm hai số u và v biết: u + v = S, u.v = P
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện để tồn tại hai số u và v: Nếu S2 - 4P ≥ 0 thì tồn tại hai số u và v
- Bước 2: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0, giải phương trình để tìm hai số u và v.
Bài toán 1: Tìm hai số u và v khi biết tổng của hai số là 12, tích của hai số là 7
Hướng dẫn giải
Vì S = 12, P = 7 thỏa mãn nên tồn tại hai số cần tìm.
Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – 12x + 7 = 0
∆ = (– 12)2 – 4.7 = 144 – 28 = 116 > 0.
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vậy hai số cần tìm là: 6 ± √29.
Bài toán 2: Tìm hai số u và v khi biết tổng của hai số là – 9, tích của hai số là 119.
Hướng dẫn giải
Vì S = – 9, P = 119 thì S2 - 4P = (-9)2 - 4.119 = 81 - 476 = -395 < 0
Suy ra không tồn tại hai số cần tìm thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
2.5. Dạng 5: Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp giải: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Bước 1: Xác định hệ số a, b, c.
- Bước 2: Xét dấu phương trình các nghiệm của phương trình bậc hai như sau:
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu: 3x2 - 4mx + m2 - 2m - 3 = 0
Hướng dẫn giải
Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương: 3x2 - 4mx + m2 - 2m - 3 = 0
Hướng dẫn giải
Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
2.6. Dạng 6: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước là bài toán khá đa dạng về câu hỏi. Một số dạng bài toán tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước thường gặp khi ôn thi vào 10 là:
- Dạng 1: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: âm, dương, cùng dấu, trái dấu
- Dạng 2: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện đối xứng giữa x1, x2
- Dạng 3: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện không đối xứng
- Dạng 4: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện số học
- Dạng 5: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện về cực trị
Phương pháp chung để giải bài toán này như sau:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
- Bước 2: Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
- Bước 3: Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Nhằm hỗ trợ các em học sinh thành thạo phương pháp giải cụ thể từng dạng bài toán tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước, TAK12 đã biên soạn một bài viết chi tiết hướng dẫn giải dạng bài toán này. Trong bài viết này, TAK12 sẽ chia sẻ cách giải từng dạng bài, đi kèm là các bài tập minh họa và bài tập vận dụng có lời giải chi tiết.
Như vậy, bài viết trên đã giới thiệu đầy đủ kiến thức cần nhớ về định lý Vi-ét lớp 9, cũng như cách làm các dạng bài về định lý Vi-ét. Hy vọng các bạn ghi nhớ và áp dụng hiệu quả vào các bài toán cụ thể trong quá trình ôn thi toán vào 10.
[%Included.TAK12%]