Đề số 1 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thời gian học tiếng Trung (đơn vị là năm, tính từ lúc bắt đầu học tiếng Trung đến thời điểm khảo sát) của một số học sinh lớp 9.

Hãy tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của các học sinh có thời gian học tiếng Trung dưới 2 năm.

Trả lời: Các học sinh có thời gian học tiếng Trung dưới 2 năm có tần số ghép nhóm là 1.1 và tần số tương đối ghép nhóm là 1.2%.

Bạn An gieo một con xúc xắc cân đối và bạn Bảo tung một đồng xu cân đối liên tiếp hai lần. Tính xác suất của biến cố A: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc nhỏ hơn 3 và có không quá một lần đồng xu xuất hiện mặt sấp".

Trả lời: P(A) = . (Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho hai biểu thức:  và   với 

Tìm giá trị của biểu thức A khi x = 9.

 Trả lời: Khi x = 9 thì A = .

Rút gọn biểu thức B, ta được:

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Trả lời: x = .

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên?

Trả lời:

Thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành xong công việc là 6.1 ngày.

Thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành xong công việc là 6.2 ngày.

Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ y tế phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ đó phải sản xuất bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó phải làm mỗi ngày bằng nhau).

Trả lời: Theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất đó phải làm bộ đồ bảo hộ y tế.

Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): . Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn .

Trả lời: m = .

Người ta thả một viên bi hình cầu không thấm nước, có bán kính bằng 3 cm ngập hoàn toàn trong một ly nước hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm, ly được đặt thẳng đứng so với mặt nằm ngang và đủ to để nước không tràn ra ngoài (xem hình vẽ).

a) Tính thể tích của viên bi.

b) Hỏi sau khi thả viên bi vào thì mực nước trong ly dâng thêm bao nhiêu centimet? (Giả sử độ dày của đáy ly và thành ly không đáng kể)

Trả lời: Sau khi thả viên bi vào thì mực nước trong ly dâng thêm cm. (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản. Ví dụ 1/2)

Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BF, CE của ∆ABC cắt nhau tại H. Kéo dài AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Kéo dài KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Gọi N là giao điểm của CI và EF. 

a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác BEHD nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh:

Gọi Q là trung điểm của BH.

+) Do AD, CE là các đường cao của tam giác ABC nên:

= 11.1°

⇒ ∆BEH vuông tại 11.2 và ∆BDH vuông tại 11.3

+) Xét ∆BEH vuông tại 11.4, có Q là trung điểm của BH

⇒ 3 điểm B, E, 11.5 cùng thuộc đường tròn đường kính BH (1)

+) Xét ∆BDH vuông tại 11.6, có Q là trung điểm của BH

⇒ 3 điểm D, H, 11.7 cùng thuộc đường tròn đường kính BH (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, D, H, 11.8 cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác BEHD nội tiếp (đpcm).

b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh CE² = CN. CI.

Do BF, CE là các đường cao của tam giác ABC nên:

= 12.1°

⇒ ∆AEH vuông tại 12.2 và ∆AFH vuông tại 12.3

⇒ ∆AEH  và ∆AFH cùng nội tiếp đường tròn đường kính 12.4

⇒ 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác AEHF nội tiếp.

⇒ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.5

mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.6

⇒ hay

Xét ∆CEN và ∆CEI có:

là góc chung

⇒ ∆CEN ᔕ ∆12.7 (g.g)

(đpcm).

c) Kẻ OM vuông góc với BC tại M. Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó trả lời câu hỏi dưới đây:

Những nội dung nào nằm trong bài chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết các bước để chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng, tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây: 

Chứng minh:

Bước 1: Chứng minh PM là đường trung trực của EF

+) Ta có PE = 14.1 (do P là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF)

⇒ P thuộc đường trung trực của EF

+) ∆OBC cân tại 14.2 (do OB = OC = R) có OM là đường cao

⇒ OM cũng là đường trung tuyến

⇒ 14.3 là trung điểm của BC.

+) ∆BEC vuông tại E có 14.4 là đường trung tuyến ứng với BC

⇒ ME = MB = 14.5 (1)

+) ∆BFC vuông tại F có 14.6 là đường trung tuyến ứng với BC

⇒ 14.7 = MB = MC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ME = MF hay M thuộc đường trung trực của 14.8

Do đó, 14.9 là đường trung trực của EF. (*)

Bước 2: Chứng minh N cũng thuộc đường trung trực của EF (NE = NF), từ đó suy ra M, N, P thẳng hàng.

Bước 2.1: Tính NE và NF

Theo ý b) ta có:

+) ∆CEN ∾ ∆CIE

+) Tứ giác AEHF nội tiếp 

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.10

+) Xét ∆KHE và ∆CFN có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.11)

⇒ ∆KHE ∾ ∆CFN (g.g)

Bước 2.2: Chứng minh NE/NF = 1 (hay NE = NF)

Khi đó ta có:

+) Xét ∆IEA và ∆BEK có:

(hai góc đối đỉnh)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.12

⇒ ∆IEA ∾ ∆14.13 (g.g)

⇒ IE.14.14 = 14.15.EA (4)

+) Xét ∆AEH và ∆BEC có:

(cùng phụ với )

= 14.16°

⇒ ∆AEH∾ ∆14.17 (g.g)

⇒ AE.14.18 = 14.19.EH (5)

Thay (4) và (5) vào (3) ta được:

⇒ N thuộc đường trung trực của 14.20 (**)

Từ (*) và (**) suy ra M, N, P thẳng hàng (đpcm).

Một tỉnh dự định làm đường điện từ điểm A trên bờ biển đến điểm B trên một hòn đảo. B cách bờ một khoảng BC = 2 km, A cách C một khoảng AC = 3 km (xem hình vẽ). Biết chi phí làm 1 km đường điện trên bờ là 5 tỷ đồng, dưới nước là 13 tỷ đồng. Tìm vị trí điểm D trên đoạn bờ biển AC sao cho khi làm đường điện theo đường gấp khúc ADB thì chi phí thấp nhất (coi bờ biển là đường thẳng).

Trả lời: DC = (km). (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)