Đề số 2 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Gieo một con xúc xắc 30 lần cho kết quả như sau:

Hãy xác định tần số và tấn số tương đối xuất hiện mặt 3 chấm. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Tần số xuất hiện mặt 3 chấm là: 1.1.

Tần số tương đối xuất hiện mặt 3 chấm là: 1.2%.

Một tấm bìa hình quạt tròn được chia làm 6 hình quạt có diện tích như nhau, ghi các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và được gắn vào một trục quay có mũi tên cố định ở tâm (xem hình vẽ). Quay tấm bìa 2 lần. Tính xác suất của biến cố A: "Mũi tên chỉ vào hai hình quạt đối xứng nhau qua tâm". 

Trả lời: P(A) = (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho và với .

a) Tính giá trị của B khi x = 16.

(Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: B = .

b, Rút gọn biểu thức A.

c) Cho P = A.B. Tìm số nguyên x để .

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước, biết nếu vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ rồi khóa lại mở vòi thứ hai chảy trong 45 phút thì được bể. Còn nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi tiếp tục mở vòi thứ hai chảy trong 30 phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể?

Trả lời:

Một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 6.1 giờ.

Một mình vòi thứ hai chảy đầy bể trong 6.2 giờ.

Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút. Do đó để đến B đúng hẹn người đó đã tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường.

Trả lời: Vận tốc ban đầu là 7.1 km/h và thời gian xe lăn bánh trên đường là 7.2 giờ. (Kết quả viết dưới dạng số thập phân)

Cho phương trình với m là tham số. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

Trả lời: Giá trị nguyên nhỏ nhất của m thỏa mãn là m = .

Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu là 10 cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược lên thì chiều cao của cột nước trong phễu bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời: Chiều cao của cột nước trong phễu sau khi lật ngược lên xấp xỉ cm.

Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc (O) (C khác A và B), tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt AC ở K. Từ K kẻ tiếp tuyến KD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm khác B). OK cắt BD tại I.

a) Chứng minh 4 điểm B, O, D, K cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Gọi P là trung điểm của OK.

+) Do KB, KD là tiếp tuyến của (O) nên 10.1 ⊥ OB; 10.2 ⊥ OD

⇒ ∆ODK vuông tại 10.3 và ∆OBK vuông tại 10.4

+) Xét ∆ODK vuông tại 10.5, có P là trung điểm của OK

⇒ 3 điểm O, D, 10.6 cùng thuộc một đường tròn (1)

Xét ∆OBK vuông tại 10.7, có P là trung điểm của OK

⇒ 3 điểm O, K, 10.8 cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, O, D, K cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

b) Chứng minh OI ⊥ BD và KC.KA = KI.KO.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

1) Chứng minh OI ⊥ BD.

Xét (O) có:

KB và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 11.1

⇒ KB = 11.2 (tính chất)

Mà OB = OD (hai bán kính của (O))

⇒ 11.3 là đường trung trực của BD

⇒ OK ⊥ BD tại 11.4

⇒ OI ⊥ BD.

2) Chứng minh KC.KA = KI.KO

+) Xét ∆ODK và ∆DIK có:

là góc chung

⇒ ∆ODK ∾ ∆11.5 (g.g)

⇒ DK² = 11.6.KO (1)

+) Ta có OC = OD (hai bán kính của (O))

⇒ ∆ODC cân tại 11.7

+) Lại có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 11.8)

⇒ = 11.9° -  

+) Xét ∆KAD và ∆KCD có:

là góc chung

⇒ ∆KAD ∾ ∆11.10 (g.g)

⇒ KD² = KA.11.11 (2)

Từ (1) và (2) suy ra KC.KA = KI.KO.

c) Gọi E là trung điểm của AC, kẻ đường kính CF của đường tròn (O), FE cắt AI tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của AI.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước giải dưới đây theo trình tự phù hợp:

Bước 1: 12.1C/m EF //CIC/m F, E, D thẳng hàngC/m góc KCI = góc KOA và góc KOA = góc KEF

Bước 2: 12.2C/m EF //CIC/m góc KCI = góc KOA và góc KOA = góc KEFC/m F, E, D thẳng hàng

Bước 3: 12.3C/m EF //CIC/m góc KCI = góc KOA và góc KOA = góc KEFC/m F, E, D thẳng hàng

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết trình tự các bước để chứng minh H là trung điểm của AI, tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Chứng minh:

Bước 1: Chứng minh F, E, D thẳng hàng.

Xét ∆OAC cân tại O có 13.1 là đường trung tuyến

⇒ 13.2 cũng là đường cao

⇒ 13.3 ⊥ AC tại E

Khi đó ta có ∆OEK vuông tại E và ∆OBK vuông tại B cùng nội tiếp đường tròn đường kính 13.4

⇒ 4 điểm O, 13.5, K, B cùng thuộc một đường tròn

Mà O, D, K, B cùng thuộc một đường tròn (cmt)

⇒ 5 điểm O, 13.6, D, K, B cùng thuộc một đường tròn

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.7

mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.8 hay

= 13.9°

= 13.10°

Mà  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ 3 điểm F, E, 13.11 thẳng hàng.

Bước 2: Chứng minh và

Bước 2.1: Chứng minh

Ta có KI.KO = KC.KA (cmt)

Xét ∆KCI và ∆KOA có:

là góc chung

⇒ ∆KCI ∾ ∆13.12 (c.g.c)

(hai góc tương ứng) (3)

Bước 2.2: Chứng minh

Lại có:

= 13.13° + (tính chất góc ngoài ∆OIB) 

= 13.14° +   (tính chất góc ngoài ∆AEF) 

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.15

(4)

Bước 3: Chứng minh EF // CI, từ đó suy ra H là trung điểm của AI.

Từ (3) và (4) suy ra

Mà hai góc trên ở vị trí 13.16đồng vịso le trong

⇒ EF // CI hay EH // CI

Mà E là trung điểm của 13.17 nên H là trung điểm của AI (tính chất đường trung bình trong tam giác). (đpcm)

Một công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dạng hình lăng trụ đứng tứ giác đều (đáy là hình vuông) không nắp có thể tích là 62,5dm³. Để tiết kiệm vật liệu gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho diện tích gỗ làm thùng (S) là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Coi diện tích tay cầm và các góc nối không đáng kể)

Trả lời: S = dm².