Đề số 3 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Khảo sát về số thời gian dùng các thiết bị điện tử (điện thoại, ipad, laptop) trong một ngày của 350 học sinh trong trường. Giáo viên tổng hợp lại và lập được biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột sau:

Hãy xác định tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [2; 3).

Trả lời: Nhóm [2; 3) có tần số ghép nhóm là 1.1 và tần số tương đối ghép nhóm là 1.2%.

Lớp 9A có hai bạn nam hát hay là Khôi và Nguyên; ba bạn nữ hát hay là Phương, Bích và Dung. Cô chủ nhiệm lớp chọn ngẫu nhiên hai bạn trong các bạn này để hát song ca trong lễ bế giảng năm học. Tính xác suất của biến cố C: "Trong hai bạn được chọn có bạn Phương".

Trả lời:  P(C) = . (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho biểu thức  với và 

a) Rút gọn P ta được:

b) Tính giá trị của P khi x = 25. (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: P = .

c) Tìm các giá trị của x để 

Trong một trận bóng đá, ban quản lí sân vận động bán được 40 000 vé, bao gồm vé loại I và vé loại II. Giá vé loại I là 100 nghìn đồng. Giá vé loại II là 50 nghìn đồng. Số tiền thu được từ bán vé là 2,5 tỉ đồng. Hỏi có bao nhiêu vé loại I, bao nhiêu vé loại II?

Trả lời: Có 6.1 vé loại I, 6.2 vé loại II.

Lớp 9A có 80 quyển vở dự định khen thưởng học sinh giỏi cuối năm. Thực tế cuối năm tăng thêm 2 học sinh giỏi, nên mỗi phần thưởng giảm đi 2 quyển vở so với dự định. Hỏi thực tế cuối năm lớp 9A có bao nhiêu học sinh giỏi, biết mỗi phần thưởng có số quyển vở bằng nhau.

Trả lời: Thực tế cuối năm lớp 9A có học sinh giỏi. 

Cho phương trình . Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Trả lời: m = .

Chiếc nón lá do một làng nghề ở Việt Nam sản xuất là hình nón có đường kính vành nón bằng 0,5 m và chiều cao bằng 0,3 m.

a) Tính diện tích xung quanh của một chiếc nón lá do làng nghề này làm ra. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Trả lời: S_{xq ≈} m².

b) Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là 6,13 m². Hỏi nếu muốn làm ra 1 000 chiếc nón lá giống nhau có kích thước như trên thì cần khối lượng lá là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, không lấy kết quả đã làm tròn ở ý a và chỉ làm tròn sau phép tính cuối cùng)

Trả lời: Khối lượng lá cần dùng để làm 1 000 chiếc nón lá khoảng kg.

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ đường kính CE, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Gọi S là trung điểm của OA

Do AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên 11.1 ⊥ OB; 11.2 ⊥ OC

⇒ ∆OBA vuông tại 11.3 và ∆OCA vuông tại 11.4

Xét ∆OBA vuông tại 11.5, có S là trung điểm của OA

⇒ 3 điểm O, B, 11.6 cùng thuộc đường tròn đường kính OA (1)

Xét ∆OCA vuông tại 11.7, có S là trung điểm của OA

⇒ 3 điểm O, A, 11.8 cùng thuộc đường tròn đường kính OA (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, O, C, 11.9 cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABOC nội tiếp. (đpcm)

b) OA cắt BC tại H. Chứng minh AH ⊥ BC và AB² = AE.AF.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Chứng minh AH ⊥ BC.

Xét (O) có:

AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 12.1

⇒ AB = 12.2 (tính chất)

Mà OB = OC (hai bán kính của (O))

⇒ 12.3 là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC tại 12.4

⇒ AH ⊥ BC. (đpcm)

2) Chứng minh AB² = AE. AF.

Ta có OB = OF (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OBF cân tại 12.5

Lại có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 12.6)

⇒ = 12.7° 

Xét ∆AFB và ∆AEB có:

là góc chung

(cmt)

⇒ ∆AFB ∾ ∆12.8 (g.g)

⇒ AB² = AE.12.9. (đpcm)

c) Gọi I là giao điểm của BF và OA. Chứng minh I là trung điểm của AH.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó trả lời câu hỏi dưới đây:

Những nội dung nào nằm trong bài chứng minh I là trung điểm của AH?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c)  Ở câu trước, em đã biết trình tự các bước để chứng minh I là trung điểm của AH, tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây: 

Bước 1: Chứng minh IA² = IF.IB

Ta có:

(hai góc đối đỉnh)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.1)

Lại có tứ giác ABOC nội tiếp (cmt)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.2) hay

Xét ∆IFA và ∆IAB có:

là góc chung

⇒ ∆IFA ∾ ∆14.3 (g.g)

⇒ IA² = IF.14.4 (1)

Bước 2: Chứng minh IH² = IF.IB, từ đó suy ra I là trung điểm của AH

Ta có OA ⊥ BC tại H (cmt) ⇒ BH ⊥ OA

Xét ∆OBA vuông tại B có 14.5 là đường cao

⇒ AB² = 14.6.AO

Mà AB² = AF. AE (chứng minh câu b)

⇒ 14.7.AO = AF. AE

Xét ∆AHF và ∆AOE có:

là góc chung

⇒ ∆AHF ∾ ∆14.8 (c.g.c)

Mà  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.9)

Xét ∆IHF và ∆IBH có:

là góc chung

⇒ ∆IHF ∾ ∆14.10 (g.g)

⇒ IH² = IF.14.11 (2)

Từ (1) và (2) suy ra IH² = IA²

⇒ IH = IA 

⇒ I là trung điểm của AH. (đpcm)

Từ một miếng tôn mỏng hình tam giác đều ∆ABC có cạnh bằng 16 dm, một người thợ làm bảng hiệu cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng tôn trên để làm bảng hiệu cho quán ăn (với M, N thuộc cạnh BC; P, Q lần lượt thuộc cạnh AC và AB). Đặt PQ = x (dm) (0 < x < 16), tìm x để diện tích bảng hiệu quảng cáo là lớn nhất.

Trả lời: x = dm.