Đề số 4 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Sau khi khảo sát về mức lương của 2 500 công nhân công ty A người ta thu được biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm như hình dưới.

Hãy xác định tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của các công nhân có thu nhập dưới 10 triệu đồng.

Trả lời: Các công nhân có thu nhập dưới 10 triệu đồng có tần số ghép nhóm là 1.1 và tần số tương đối ghép nhóm là 1.2%.

Trên giá có 1 quyển sách Ngữ văn, 1 quyển sách Mĩ thuật và 1 quyển sách Công nghệ. Bạn Hà và bạn Thúy lần lượt lấy ra ngẫu nhiên 1 quyển sách từ giá. Tính xác suất của biến cố M: "Không có quyển sách Công nghệ nào trong hai quyển sách được lấy ra".

Trả lời: P(M) = . (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho biểu thức  với .

a) Rút gọn biểu thức P ta được:

b) Tính giá trị của P tại . 

c) Tìm các giá trị của x để .

Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ thành phố Cao Bằng đến huyện Bảo Lạc, quãng đường dài 135 km. Biết rằng vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 9 km/h và ô tô đến huyện Bảo Lạc trước xe máy 45 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

Trả lời: Vận tốc của xe máy là 6.1 km/h, vận tốc của xe ô tô là 6.2 km/h.

Bạn Dũng trung bình tiêu thụ 15 ca-lo cho mỗi phút bơi và 10 ca-lo cho mỗi phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng dành 1,5 giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết 1200 ca-lo. Hỏi hôm nay, bạn Dũng đã dành bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động này?

Trả lời: Bạn Dũng đã dành 7.1 phút để bơi và 7.2 phút để chạy bộ.

Cho phương trình . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Trả lời: Có giá trị của m thỏa mãn.

Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ, chiều cao bằng 10 cm và chứa một lượng nước có thể tích bằng một nửa thể tích chiếc cốc. Một chiếc cốc thủy tinh khác có dạng hình nón (không chứa gì cả) và có bán kính đáy bằng bán kính đáy chiếc cốc hình trụ đã cho. Biết rằng khi đổ hết lượng nước trong chiếc cốc hình trụ vào chiếc cốc hình nón thì chiếc cốc hình nón đầy nước và không có nước tràn ra ngoài. Tính chiều cao của chiếc cốc dạng hình nón (bỏ qua bề dày thành cốc và đáy cốc).

Trả lời: Chiều cao của chiếc cốc dạng hình nón là cm.

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AC, BD (A khác B, D). Trên đoạn thẳng BC lấy điểm E (E khác B, C), đường thẳng ED cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Đường thẳng qua E, vuông góc với BC cắt tia AF tại G.

a) Chứng minh AB = CD và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Tứ giác ABCD có:

10.1° (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ ABCD là 10.2hình thoihình chữ nhậthình thang cân (định nghĩa)

⇒ AB = CD.

Ta có: (hai góc đối đỉnh)

Mà và là hai góc ở tâm lần lượt chắn các cung 10.3 và 10.4

Mà và là hai góc nội tiếp lần lượt chắn các cung 10.5 và 10.6

. (đpcm)

b) Chứng minh tứ giác CEFG nội tiếp và CD.EG = CB.CE.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

+) Chứng minh tứ giác CEFG nội tiếp

Ta có: 11.1° (hai góc kề bù)

Mà 11.2° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ ∆CFG vuông tại 11.3

⇒ ∆CFG nội tiếp đường tròn đường kính 11.4 (1)

Lại có: GE ⊥ BC nên

⇒ ∆GEC vuông tại 11.5

⇒ ∆GEC nội tiếp đường tròn đường kính 11.6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm C, 11.7, F, G cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác CEFG nội tiếp. (đpcm)

+) Chứng minh CD.EG = CB.CE

Vì tứ giác CEFG nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 11.8)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 11.9)

Xét ∆CEG và ∆CDB có:

⇒ ∆CEG ∾ ∆11.10 (g.g)

⇒ CD. EG = CB.CE (đpcm).

c) Gọi H là giao điểm của hai tia GE và AD. Đường thẳng qua E, song song với FC cắt tiếp tuyến tại C của (O) ở điểm K. Chứng minh ba điểm G, C, K thẳng hàng và .

g để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó lựa chọn câu trả lời phù hợp: 

Phần 1: Chứng minh ba điểm G, C, K thẳng hàng

Theo em, để c/m ba điểm G, C, K thẳng hàng, ta cần c/m những điều gì dưới đây?

Phần 2: Chứng minh

Để c/m , ta cần c/m những điều gì dưới đây?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết cách để chứng minh ba điểm G, C, K thẳng hàng và , tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Phần 1: Chứng minh ba điểm G, C, K thẳng hàng

Ta có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.1)

(hai góc đối đỉnh)

(1)

Lại có:

 13.2° (∆HED vuông tại H)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.3)

13.4° (2)

Từ (1) và (2) ta có:

13.5°

 13.6° 

⇒ CG ⊥ AC

Mà CK ⊥ AC (CK là tiếp tuyến của (O) tại 13.7)

⇒ 3 điểm G, C, K thẳng hàng.

Phần 2: Chứng minh

Bước 2.1: Chứng minh

Tứ giác EHDC có:

 13.8°

⇒ EHDC là hình chữ nhật 

⇒ EHDC nội tiếp trong một đường tròn

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.9)

Hay (3)

Bước 2.2: Chứng minh

Ta có:

(hai góc 13.10so le trongđồng vị)

(cmt)

EHDC là hình chữ nhật nên EH // 13.11

(hai góc 13.12so le trongđồng vị)

Do đó: (4)

Từ (3) và (4) suy ra (đpcm).

Gia đình anh Phát cần xây dựng một hố ga mới có thể tích là 3,2 m³, dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và không có nắp. Người thợ muốn làm ra cái hố ga theo yêu cầu của anh Phát với chi phí thấp nhất thì diện tích toàn phần phải có giá trị nhỏ nhất (diện tích toàn phần là tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy). Hỏi độ dài cạnh đáy và chiều cao của hố ga là bao nhiêu để chi phí làm hố ga là thấp nhất? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm và chỉ làm tròn ở phép tính cuối cùng)

Trả lời: Độ dài cạnh đáy là 14.1 m và chiều cao là 14.2 m.