Đề số 5 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Nhân dịp tết trung thu, nhà trường tổ chức cuộc thi "Mâm ngũ quả đặc sắc" cho khối 9. Sau đó để 500 học sinh các khối 6, 7, 8 tham gia bình chọn sản phẩm mâm mũ quả đặc sắc nhất, tỉ lệ bình chọn thu được ở bảng bên dưới. Lớp có tỉ lệ bình chọn cao nhất là lớp giành chiến thắng.

a) Lớp giành chiến thắng trong cuộc thi này là

b) Biểu diễn số lượt bình chọn của các lớp khối 9 bằng biểu đồ dạng đoạn thẳng ta thu được hình dưới.

Hỏi giá trị tại các điểm A, B, C, D lần lượt là bao nhiêu?

Cho hai hộp đựng các tấm thẻ, hộp thứ nhất đựng 3 tấm thẻ ghi các số 2; 4; 6, hộp thứ hai đựng 3 tấm thẻ ghi các số 3; 5; 7. Bốc ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chữ số được lấy ra từ hộp thứ nhất là chữ số hàng chục.

Cho biến cố A: "Số tạo thành chia hết cho 3".

Xác suất của biến cố A là 

Cho biến cố B: "Số tạo thành là số nguyên tố"

Xác suất của biến cố B là . (Điền đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho hai biểu thức và với x > 0.

Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.

Trả lời: A = (Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Rút gọn B ta được:

Tìm x để .

Trên địa bàn thành phố X, có 1850 học sinh lớp 9 đăng kí dự thi tuyển sinh vào lớp 10 của hai trường trung học phổ thông A và B, kết quả có 680 học sinh trúng tuyển. Biết tỉ lệ trúng tuyển của trường A là 30% và trường B là 80%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 đăng kí dự thi vào lớp 10?

Trả lời:

Số học sinh đăng kí dự thi vào lớp 10 trường A là 8.1 học sinh.

Số học sinh đăng kí dự thi vào lớp 10 trường B là 8.2 học sinh.

Theo kế hoạch công an tỉnh Khánh Hòa sẽ cấp 7 200 thẻ căn cước công dân cho địa phương A. Một tổ công tác được điều động đến địa phương A để cấp thẻ căn cước công dân trong một thời gian nhất định. Khi thực hiện nhiệm vụ, tổ công tác đã cải tiến kĩ thuật và tăng thời gian làm việc mỗi ngày nên mỗi ngày đã cấp được thêm 40 thẻ căn cước so với kế hoạch. Vì vậy, tổ công tác hoàn thành nhiệm vụ sớm hơn kế hoạch 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày tổ công tác sẽ cấp được bao nhiêu thẻ căn cước?

Trả lời: Theo kế hoạch, mỗi ngày tổ công tác sẽ cấp được thẻ căn cước.

Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt   thoả mãn .

Một khúc gỗ dạng hình trụ, bán kính đáy bằng 10 cm, chiều cao bằng 20 cm. Người ta tiện bỏ bên trong khúc gỗ một phần dạng hình nón có bán kính hình tròn đáy bằng 10 cm, chiều cao bằng một nửa chiều cao của khúc gỗ (như hình vẽ). Tính thể tích phần gỗ còn lại (lấy π = 3,14; đáp án làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Trả lời: Thể tích phần gỗ còn lại là cm³.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.

a) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Gọi K là trung điểm của BC.

Ta có BE, CF là các đường cao của ∆ABC

⇒ 12.1 ⊥ AC tại E; 12.2 ⊥ AB tại F

⇒ ∆BEC vuông tại 12.3 và ∆BFC vuông tại 12.4

Xét ∆BEC vuông tại 12.5, có K là trung điểm của BC

⇒ 3 điểm B, E, 12.6 cùng thuộc một đường tròn (1)

Xét ∆BFC vuông tại 12.7, có K là trung điểm của BC

⇒ 3 điểm F, C, 12.8 cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

b) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) tại A như hình vẽ.

+) Do tứ giác BCEF nội tiếp (theo ý a) nên ta có:

13.1° (định lí tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà  13.2° (hai góc kề bù)

(1)

+) Ta có OA = OB (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OAB cân tại 13.3

Mà (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Lại có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 13.4

13.5° (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà hai góc trên ở vị trí 13.6so le trongđồng vị

⇒ 13.7 // Ax 

Mà Ax ⊥ OA

⇒ EF ⊥ OA (đpcm).

c) Đường thẳng AO cắt EF, BC lần lượt tại điểm M và I; cắt (O) tại điểm thứ hai là S. Đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh ∆APE ∾ ∆AIB và .

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó trả lời các câu hỏi dưới đây:

Phần 1: Chứng minh ∆APE ∾ ∆AIB

Nội dung nào sau đây không nằm trong phần chứng minh ∆APE ∾ ∆AIB?

Phần 2: Chứng minh

Nội dung nào sau đây không nằm trong phần chứng minh ?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết cách để chứng minh ∆APE ∾ ∆AIB và , tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Chứng minh:

Ta có H là giao điểm của BE và CF

⇒ H là trực tâm ∆ABC

⇒ AD ⊥ BC.

Phần 1: Chứng minh ∆APE ∾ ∆AIB

Ta có:

15.1° (Hai góc kề bù)

Tứ giác BFEC nội tiếp (cmt) nên 15.2° (định lí tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Lại có:

15.3° (Do AO ⊥ EF tại M)

15.4° (Do AH ⊥ BC tại D)

Xét ∆APE và ∆AIB có:

⇒ ∆EPA ∾ ∆15.5 (g.g) (đpcm).

Phần 2: Chứng minh

+) Xét ∆AHE và ∆ACD có:

là góc chung

15.6°

⇒ ∆AEH ∾ ∆15.7 (g.g) 

⇒ AE. 15.8 = AH. AD (1)

+) Xét ∆AME và ∆ACS có:

là góc chung

15.9° ( là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ ∆AME ∾ ∆15.10 (g.g) 

⇒ AE. AC = 15.11. AS (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH. AD = 15.12. AS

+) Xét ∆AHM và ∆ASD có:

là góc chung

⇒ ∆AHM ∾ ∆15.13 (c.g.c) 

(đpcm).

Một công ty sữa muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 200 ml. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là hình trụ tròn hoặc hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Hỏi thiết kế theo mô hình nào thì tiết kiệm nguyên vật liệu hơn và diện tích nguyên vật liệu cần dùng ít nhất là bao nhiêu? (Coi diện tích các mép dán không đáng kể, hình trụ tròn có hai đáy bằng nhau; kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Trả lời: Bao bì sữa nên thiết kế theo mô hình 16.1hình trụ trònhình hộp chữ nhật thì tiết kiệm nguyên vật liệu hơn và diện tích nguyên vật liệu cần dùng ít nhất là 16.2 cm².