Đề số 6 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Năm 2022, Việt Nam đã xuất khẩu 94 510 tấn gạo sang thị trường Liên minh Châu Âu (EU). Biểu đồ dưới đây biểu diễn tần số tương đối của các loại gạo Việt Nam đã xuất khẩu.

a) Loại gạo nào được nước ta xuất khẩu nhiều nhất sang EU vào năm 2022?

b) Năm 2022 nước ta đã xuất khẩu bao nhiêu tấn gạo trắng sang EU? (Kết quả viết dưới dạng số thập phân, viết liền không cách. Ví dụ: 1,25)

Trả lời: Năm 2022 nước ta đã xuất khẩu tấn gạo trắng sang EU.

Có 2 chiếc hộp kín, mỗi hộp có 4 quả bóng có màu lần lượt là xanh, đỏ, vàng, cam. Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 quả bóng, tính xác suất để 2 quả bóng lấy ra từ hai hộp cùng màu.

Đáp án: Xác suất để 2 quả bóng lấy ra từ hai hộp là cùng màu là . (Điền đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho hai biểu thức  và với x ≥ 0, x ≠ 25.

a) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9. (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: A =

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm giá trị của x để .

Trả lời: x =

Một người nông dân trồng hoa trên một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 15 m. Cuối mỗi vụ thu hoạch, bình quân người đó bán được 20 000 đồng tiền hoa trên mỗi mét vuông đất. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó. Biết tổng số tiền bán hoa cuối vụ từ mảnh vườn đó thu được là 252 triệu đồng.

Trả lời: chiều dài của mảnh vườn là 7.1 m, chiều rộng của mảnh vườn là 7.2 m.

Để chở hết 80 tấn quà tặng đồng bào nghèo ở vùng cao đón Tết, một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại. Lúc sắp khởi hành có 4 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn hàng mới hết. Tính số xe lúc đầu của đội, biết rằng khối lượng hàng mỗi xe phải chở là như nhau.

Trả lời: Số xe lúc đầu của đội là xe.

Một hộp kem hình trụ có đường kính đáy 12 cm và chiều cao 15 cm đựng đầy kem. Kem sẽ được người bán hàng chia vào các bánh ốc quế hình nón có chiều cao 12 cm và đường kính miệng bánh 6 cm theo cách sau:

- Phần kem ở trong bánh ốc quế chỉ bằng 95% thể tích thực của chiếc bánh.

- Phần kem ở trên đỉnh bánh ốc quế có dạng hình bán cầu có cùng đường kính với đường kính miệng bánh.

a) Tính thể tích của hộp kem và thể tích của mỗi chiếc bánh ốc quế. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trả lời:

Thể tích của hộp kem là 9.1 cm³. 

Thể tích mỗi chiếc bánh ốc quế là 9.2 cm³. 

b) Người bán hàng có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu chiếc bánh kem ốc quế theo cách trên? (Không lấy kết quả đã làm tròn ở ý a)

Trả lời: Người bán hàng có thể chia được nhiều nhất chiếc bánh kem ốc quế.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA > 2R, vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là tiếp điểm), kẻ dây BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O; R) tại điểm E (E ≠ D). Gọi I là trung điểm của DE.

a) Chứng minh: 4 điểm O, I, B, A cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Gọi là trung điểm của .

Do là tiếp tuyến của nên 11.1 tại

vuông tại 11.2

Mà là đường trung tuyến ( là trung điểm của )

3 điểm 11.3 cùng thuộc đường tròn đường kính   (1)

+) Ta có (hai bán kính của ) nên cân tại 11.4

Mà 11.5 là đường trung tuyến ( là trung điểm của )

11.6 cũng là đường cao

11.7

+) Xét vuông tại 11.8, có là đường trung tuyến

3 điểm O, A, 11.9 cùng thuộc đường tròn đường kính   (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

b) Đường thẳng cắt lần lượt tại và . Gọi là giao điểm của và .

Chứng minh: và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Phần 1: Chứng minh .

+) Ta có 12.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

điểm 12.2 thuộc đường trung trực của    (3)

Lại có (hai bán kính của )

điểm 12.3 thuộc đường trung trực của    (4)

Từ (3) và (4) suy ra 12.4 là đường trung trực của

12.5 tại .

+) Xét và có:

là góc chung

12.6 (g.g)

12.7. (đpcm)

Phần 2: Chứng minh .

+) Do 12.8 (gt) nên (hai góc 12.9đồng vịso le trong)  (5)

+) Ta có (hai bán kính của (O))

cân tại 12.10

Lại có 12.11 (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 12.12)

12.13°

 12.14°  (6)

Từ (5) và (6) suy ra .

+) Xét và có:

là góc chung

12.15 (g.g). (đpcm)

c) Gọi G là giao điểm của AB và CD. Chứng minh 3 điểm G, K, F thẳng hàng.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước giải dưới đây theo trình tự phù hợp: 

Gọi P là giao điểm của BD và FK; Q là giao điểm của FG và BD. 

Bước 1: 13.1C/m AF = CFC/m P là trung điểm của BDC/m Q là trung điểm của BD

Bước 2: 13.2C/m AF = CFC/m Q là trung điểm của BDC/m P là trung điểm của BD

Bước 3: 13.3C/m P là trung điểm của BDC/m Q là trung điểm của BDC/m AF = CF

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết trình tự các bước để chứng minh 3 điểm G, K, F thẳng hàng. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Gọi P là giao điểm của BD và FK; Q là giao điểm của BD và FG. Ta chứng minh P ≡ Q.

Bước 1: Chứng minh AF = CF

+) Ta có OE = OC (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OCE cân tại 14.1

Lại có  (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 14.2)

⇒ = 14.3°

+) Xét ∆FCE và ∆FBC có:

là góc chung

⇒ ∆CFE ᔕ ∆14.4 (g.g)

⇒ FC² = FB. 14.5 (7)

+) Ta có ∆AFE ᔕ ∆BFA (theo ý b)

⇒ FA² = 14.6.FB (8)

Từ (7) và (8) suy ra FA = 14.7

Bước 2: Chứng minh Q là trung điểm của BD

+) Xét ∆GQB và ∆GFA có:

(hai góc đồng vị từ BD // AC)

là góc chung

⇒ ∆GQB ᔕ ∆14.8 (g.g)

+) Xét ∆GQD và ∆GFC có:

(hai góc đồng vị từ BD // AC)

là góc chung

⇒ ∆GQD ᔕ ∆14.9 (g.g)

Từ (9) và (10) suy ra  

Mà AF = 14.10 (cmt)

⇒ 14.11 = DQ

⇒ Q là trung điểm của BD (*)

Bước 3: Chứng minh P là trung điểm của BD, từ đó suy ra G, K, F thẳng hàng.

+) Xét ∆PKB và ∆CKF có:

(hai góc đối đỉnh)

  (hai góc so le trong từ BD // AC)

⇒ ∆PKB ᔕ ∆14.12 (g.g)

+) Xét ∆PKD và ∆FKA có:

(hai góc đối đỉnh)

 (hai góc 14.13đồng vịso le trong từ BD // AC)

⇒ ∆PKD ᔕ ∆14.14 (g.g)

Từ (11) và (12) suy ra

Mà AF = CF (cmt)

⇒ 14.15 = PD

⇒ P là trung điểm của BD (**)

Từ (*) và (**) suy ra P ≡ Q

Do đó FK ≡ FG hay 3 điểm G, K, F thẳng hàng (đpcm).

Tại xưởng sản xuất, người thợ đang thiết kế 1 chi tiết máy có dạng ống hình tam giác (như hình vẽ). Người thợ cắt tấm thép hình vuông ABCD có cạnh là 30 cm.Trên cạnh AB lấy hai điểm E, G sao cho AE = GB = x (cm) và điểm E nằm giữa điểm A và G. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại F; qua G kẻ đường thẳng vuông với AB cắt CD tại H. Người ta gập hình vuông theo hai cạnh EF và GH sao cho cạnh AD trùng cạnh BC như hình vẽ để tạo thành hình lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm x để thể tích hình lăng trụ lớn nhất.

Trả lời: x = cm.