Đề số 7 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Biểu đồ bên dưới thống kê thời gian công tác (theo năm) của các y tá ở một phòng khám tư nhân ở Nha Trang.

Hãy xác định tần số và tần số tương đối của các y tá đã công tác ở phòng khám 3 năm.

Trả lời: Các y tá đã công tác ở phòng khám 3 năm có tần số là 1.1 và tần số tương đối là 1.2%. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Một hộp kín đựng 5 quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4; 5. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ hộp, quả bóng được lấy ra lần đầu không để lại vào hộp. Quan sát hai số ghi trên hai quả bóng được lấy ra.

Không gian mẫu của phép thử đã cho có phần tử.

Tính xác suất để tổng của 2 số ghi trên hai quả bóng được lấy ra chia hết cho 2. (Điền đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án: Xác suất để tổng của 2 số ghi trên hai quả bóng được lấy ra chia hết cho 2 là . 

Cho biểu thức  với.

a) Tính giá trị biểu thức khi x = 4.

Đáp án: A = .

b) Rút gọn biểu thức A.

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Trả lời: Giá trị lớn nhất của A là . (Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Một lâm trường có hai đội công nhân thực hiện trồng cây phủ xanh đồi trọc. Nếu mỗi công nhân của đội thứ nhất trồng được 30 cây và mỗi công nhân của đội thứ hai trồng được 40 cây thì tổng số cây của cả hai đội trồng được là 2 880 cây. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng tổng số công nhân của lâm trường là 82 người.

Đáp án:

Đội thứ nhất có 7.1 công nhân;

Đội thứ hai có 7.2 công nhân.

Năm 2021 Thủ tướng chính phủ đã phê duyệt dự án xây dựng công trình đường cao tốc Châu Đốc - Cần Thơ - Sóc Trăng, dự án này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng sẽ góp phần phát triển kinh tế xã hội của tỉnh Sóc Trăng nói riêng và khu vực đồng bằng Sông Cửu Long nói chung. Theo ước tính chiều dài toàn tuyến cao tốc từ Châu Đốc đến Sóc Trăng là 188 km. Biết rằng vận tốc ô tô đi trên đường cao tốc lớn hơn vận tốc ô tô đi trên quốc lộ là 34 km/h. Vì vậy nếu ô tô đi từ Châu Đốc đến Sóc Trăng thì việc di chuyển trên đường cao tốc sẽ rút ngắn được 68 phút so với việc di chuyển trên quốc lộ. Tính vận tốc của ô tô khi di chuyển trên đường cao tốc.

Đáp án: Vận tốc của ô tô khi di chuyển trên đường cao tốc là km/h.

Cho phương trình bậc hai x² − 2x + m − 1= 0 (*) với m là tham số

a) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm.

b) Cho biểu thức A = x₁³ + x₂³ với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của A là .

Một chiếc tạ tay có hình dạng gồm 3 khối trụ, trong đó hai khối trụ ở hai đầu bằng nhau và một khối trụ làm tay cầm ở giữa. Gọi khối trụ làm đầu tạ là (T₁) có bán kính r₁ và chiều cao h₁; khối trụ làm tay cầm là (T₂) có bán kính r₂ và chiều cao h₂ thoả mãn (xem hình vẽ).

Biết rằng thể tích của khối trụ tay cầm bằng 30 cm³ và chiếc tạ làm bằng inox có khối lượng riêng là D = 7,7g/cm³. Tính thể tích của hai khối trụ làm đầu tạ và khối lượng của chiếc tạ tay đó. (Kết quả viết dưới dạng số thập phân (nếu có))

Trả lời:

Thể tích của hai khối trụ làm đầu tạ là 11.1 cm³.

Khối lượng của chiếc tạ tay là 11.2 kg. (Viết kết quả dưới dạng số thập phân)

Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC < BC (C khác A). Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB ). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA.

a) Tính AC. Biết AB = 4 cm, AH = 1 cm.

Trả lời: AC = cm.

b) Gọi E là hình chiếu của D trên AB. Hãy hoàn thành bài chứng minh BECD là tứ giác nội tiếp và CB.HE = CH.CD. (Không sử dụng số đo của các đoạn thẳng theo ý a)

Phần 1: Chứng minh BECD là tứ giác nội tiếp.

Gọi S là trung điểm của BD.

+) Ta có 13.1° (hai góc kề bù)

Mà (cmt)

13.2°

Xét ∆BCD vuông tại 13.3, có S là trung điểm của BD

⇒ 3 điểm B, D, 13.4 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính BD (1)

+) Do E là hình chiếu của D trên AB nên 13.5 ⊥ AB tại E.

Xét ∆BED vuông tại 13.6, có S là trung điểm của BD

⇒ 3 điểm B, E, 13.7 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm 13.8, E, C, D cùng thuộc một đường tròn hay BECD là tứ giác nội tiếp. (đpcm)

Phần 2: Chứng minh CB.HE = CH.CD

Ta có ED ⊥ AB (cmt), CH ⊥ AB (gt)

⇒ 13.9 // CH

(hai góc 13.10đồng vịso le trong

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.11)

Xét ∆HCE và ∆CBD có:

13.12°

⇒ ∆HCE ∾ ∆13.13 (g.g)

⇒ CH.CD = 13.14.HE (đpcm).

c) Gọi I là giao điểm của DE và BC, K là điểm đối xứng của I qua C, tiếp tuyến của (O) tại C cắt KA tại M. Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O) và BM đi qua trung điểm của CH.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó trả lời các câu hỏi dưới đây:

Phần 1: Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O)

Các nội dung nào nằm trong phần c/m KA là tiếp tuyến của (O)?

Phần 2: Chứng minh BM đi qua trung điểm của CH

Gọi P là giao điểm của BM và CH. Các nội dung nào nằm trong phần c/m BM đi qua trung điểm của CH?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết cách để chứng minh KA là tiếp tuyến của (O) và BM đi qua trung điểm của CH. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Chứng minh:

Phần 1: Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O)

Xét ∆CKA và ∆CID có:

15.1 = CI (K đối xứng với I qua C)

15.2 = CD (gt)

(hai góc đối đỉnh)

⇒ ∆CKA = ∆15.3 (c.g.c)

Mà hai góc trên ở vị trí 15.4so le trongđồng vị

⇒ AK // DE

Mà  DE ⊥ AB

⇒ 15.5 ⊥ AB tại A thuộc (O)

⇒ 15.6 là tiếp tuyến của (O). (đpcm)

Phần 2: Chứng minh BM đi qua trung điểm của CH

Bước 2.1: Chứng minh MK = MA

Gọi P là giao điểm của BM và CH.

+) Ta có MC và KA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 15.7

⇒ MC = 15.8 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3)

⇒ ∆MAC cân tại 15.9

(tính chất tam giác cân)

Mặt khác:

15.10° (∆KAC vuông tại C)

⇒ ∆MKC cân tại 15.11

⇒ MC = 15.12 (4)

Từ (3) và (4) suy ra MK = MA

Bước 2.2: Chứng minh PC = PH, từ đó suy ra BM đi qua trung điểm của CH

+) Ta có AK // DE; CH // DE ⇒ AK // 15.13

Xét ∆BPC và ∆BMK có:

(hai góc đồng vị)

là góc chung

⇒ ∆BPC ∾ ∆15.14 (g.g)

(5)

Xét ∆BPH và ∆BMA có:

(hai góc đồng vị)

là góc chung

⇒ ∆BPH ∾ ∆15.15 (g.g)

(6)

Từ (5) và (6) suy ra

Mà MA = MK (cmt)

⇒ PC = 15.16 

⇒ P là trung điểm của 15.17 

Chứng tỏ BM đi qua trung điểm P của CH. (đpcm)

Trong quá trình thiết kế công viên thiếu nhi, kĩ sư sử dụng mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 600 m² để làm bãi đỗ xe. Một cạnh của mảnh đất được xây bằng tường gạch với mỗi mét chiều dài chi phí hết 280 nghìn đồng, ba cạnh còn lại được rào bằng một loại thép với mỗi mét chiều dài chi phí hết 140 nghìn đồng, trong đó có mở cổng rộng 5 m (như hình vẽ). Tìm chu vi của mảnh đất sao cho chi phí làm hàng rào là ít nhất.

Trả lời: Chu vi của mảnh đất để chi phí làm hàng rào nhỏ nhất là m.