Đề số 8 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Một địa phương cho trẻ em từ 12 tháng tuổi trở lên tiêm vắc xin phòng viêm não Nhật Bản. Bảng sau thống kê số mũi vắc xin phòng viêm não Nhật Bản mà 50 trẻ em từ 12 đến 24 tháng tuổi tại địa phương này đã tiêm:

a) Số trẻ em đã tiêm 1 mũi vắc xin phòng viêm não Nhật Bản là bao nhiêu?

Trả lời: Có trẻ em đã tiêm 1 mũi vắc xin phòng viêm não Nhật Bản.

b) Trẻ em từ 12 đến 24 tháng tuổi cần hoàn thành 3 mũi tiêm cơ bản của vắc xin phòng viêm não Nhật Bản. Hỏi có bao nhiêu trẻ em đã được thống kê ở trên cần phải hoàn thành lộ trình tiêm vắc xin này? Số trẻ này có tần số tương đối là bao nhiêu?

Trả lời: 

Có 2.1 trẻ em cần phải hoàn thành lộ trình tiêm vắc xin này.

Số trẻ này có tần số tương đối là 2.2%.

Hai bạn Tuấn và Mai chơi một trò chơi như sau: Mai bốc ngẫu nhiên 1 trong 6 lá thăm được ghi các số 3; 4; 5; 6; 7; 8; Tuấn bốc ngẫu nhiên 1 trong 6 lá thăm được ghi các số 5; 6; 7; 8; 9; 10. Bạn nào bốc được lá thăm ghi số lớn hơn sẽ là người thắng cuộc. Nếu hai số bốc được bằng nhau thì kết quả là hòa.

Cho biến cố B: "Hai bạn hòa nhau".

Xác suất của biến cố B là . (Điền đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho biến cố A: "Bạn Mai thắng".

Xác suất của biến cố A là . (Điền đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho hai biểu thức và với  

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm tất cả các giá trị của x để  đạt giá trị nhỏ nhất.

Trả lời: x = .

Hưởng ứng chiến dịch tình nguyện "Mùa hè xanh" để giúp học sinh vùng cao đến trường thuận lợi hơn, hai tổ thanh niên A và B tham gia sửa một đoạn đường. Nếu hai tổ cùng làm thì trong 8 giờ xong việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của tổ A ít hơn tổ B là 12 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sửa xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Đáp án: Thời gian tổ A làm riêng sửa xong đoạn đường là 8.1 giờ, thời gian tổ B làm riêng sửa xong đoạn đường là 8.2 giờ.

Trên một khúc sông, một canô đi xuôi dòng 60 km, sau đó lại chạy ngược dòng 64 km, biết thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng 30 phút. Tính vận tốc riêng của canô, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Đáp án: Vận tốc riêng của canô là km/h.

Tìm m để phương trình  có hai nghiệm phân biệt thoả mãn:

Đáp án: m = .

Gạch xây 3 lỗ (như hình vẽ) được làm bằng đất nung, có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 220 mm, chiều rộng 105 mm, chiều cao 60 mm. Mỗi lỗ là hình trụ có trục song song với chiều cao viên gạch, đường kính đáy là 14 mm. 

a) Tính thể tích của mỗi lỗ hình trụ trong viên gạch. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số thập phân viết liền không cách)

Trả lời: Thể tích của mỗi lỗ hình trụ trong viên gạch là mm³.

b) Tính thể tích phần đất nung của một viên gạch. (Sử dụng kết quả đã làm tròn ở ý a để tính, điền kết quả dưới dạng số thập phân viết liền không cách)

Trả lời: Thể tích phần đất nung của một viên gạch là mm³.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (BA < BC) và nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại I. Tia BI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh tứ giác OAIC nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Gọi S là trung điểm của OI.

Do AI, CI là tiếp tuyến của (O) nên 13.1 ⊥ OA; 13.2 ⊥ OC

⇒ ∆OIA vuông tại 13.3 và ∆OCI vuông tại 13.4

Xét ∆OIA vuông tại 13.5, có S là trung điểm của OI

⇒ 3 điểm O, I, 13.6 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính OI (1)

Xét ∆OCI vuông tại 13.7, có S là trung điểm của OI

⇒ 3 điểm O, I, 13.8 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính OI (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, O, C, 13.9 cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác OAIC nội tiếp. (đpcm)

b) Chứng minh IC² = IB.ID.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Ta có OD = OC (hai bán kính của (O))

⇒ ∆ODC cân tại 14.1

Lại có  (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 14.2)

⇒ = 14.3° 

Xét ∆ICD và ∆ICB có:

là góc chung

(cmt)

⇒ ∆ICD ∾ ∆14.4 (g.g)

⇒ IC² = IB.14.5. (đpcm)

c) Gọi M là trung điểm của BD. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh OM ⊥ AE.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó hãy cho biết các nội dung nào nằm trong phần c/m OM ⊥ AE?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết cách để chứng minh OM ⊥ AE. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Chứng minh:

Bước 1: Chứng minh

Ta có OA = OC (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OAC cân tại 16.1

Lại có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 16.2)

⇒ = 16.3° (3)

Bước 2: Chứng minh

Ta có OB = OD (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OBD cân tại O

Mà OM là đường 16.4phân giáctrung trựctrung tuyến (M là trung điểm của BD)

⇒ OM đồng thời cũng là đường cao hay OM ⊥ BD.

Xét ∆OMI vuông tại 16.5, có S là trung điểm của OI

Lại có:

(cmt)

Do đó: SM = SC = SO = SI

⇒ 4 điểm O, C, 16.6, M cùng thuộc một đường tròn

Mà 4 điểm  O, C, I, A cùng thuộc một đường tròn (cmt)

⇒ 5 điểm O, C, I, A, 16.7 cùng thuộc một đường tròn

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 16.8) (4)

Bước 3: Chứng minh AE // BD, từ đó suy ra OM ⊥ AE.

Từ (3) và (4) suy ra

Mà (hai góc đối đỉnh)

Mà hai góc trên ở vị trí 16.9so le trongđồng vị

⇒ AE // BD

Mà OM ⊥ BD (cmt)

⇒ OM ⊥ AE. (đpcm)

Anh Thắng muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy ABCD là hình vuông như hình dưới đây. Để món quà trở nên đặc biệt, anh Thắng muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy dưới (đáy MNPQ) của chiếc hộp bằng kim loại quý (không mạ nắp hộp). Hãy tìm độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của hộp quà sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất, biết rằng thể tích của chiếc hộp là 32 dm³.

Trả lời: MN = 17.1 dm và AM = 17.2 dm.